题文

在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B． （1）如图，过点A作⊙O1的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为 12 5 ，sin∠ABC= 3 5 ，求直线AC的解析式； （2）若⊙O1经过点M（2，2），设△BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，求其变化的范围．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）如图1，过O作OG⊥AB于G，则OG= 12 5 ． 设OA=3k（k＞0）， ∵∠AOB=90°，sin∠ABC= 3 5 ． ∴AB=5k，OB=4k． ∵OA?OB=AB?OG=2S△AOB′ ∴3k×4k=5× 12 5 ，∴k=1． ∴OA=3，OB=4，AB=5， ∴A（3，0）． ∵∠AOB=90°， ∴AB是⊙O1的直径． ∵AC切⊙O1于A， ∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°． 在Rt△ABC中 ∵cos∠ABC= AB BC = 4 5 ， ∴BC= 25 4 ． ∴OC=BC-OB= 9 4 ． ∴C（0，- 9 4 ）． 设直线AC的解析式为y=kx+b，则 3k+b=0 b=- 9 4 ∴k= 3 4 ，b=- 9 4 ． ∴直线AC的解析式为y= 3 4 x- 9 4 ． （2）结论：d+AB的值不会发生变化， 设△AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示． ∴BQ=BT，AP=AT，OQ=OP= d 2 ． ∴BQ=BT=OB- d 2 ，AP=AT=OA- d 2 ． ∴AB=BT+AT=OB- d 2 +OA- d 2 =OA+OB-d． 则d+AB=d+OA+OB-d=OA+OB． 在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MN． ∵M（2，2）， ∴OM平分∠AOB， ∴OM=2 2 ， ∴∠BOM=∠MON=45°， ∴AM=BM， 又∵∠MAN=∠OBM，OB=AN， ∴△BOM≌△ANM， ∴∠BOM=∠ANM=45°，∠ANM=∠MON， ∴OM=NM∠OMN=90°， ∴OA+OB=OA+AN=ON= OM2+MN2 = 2 ×OM= 2 ×2 2 =4． ∴d+AB的值不会发生变化，其值为4．

据专家权威分析，试题“在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)