题文

如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB= 8 3 3 ，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、G、D． （1）求点G的坐标； （2）求直线CD的解析式； （3）在直线CD上和平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q得坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵DC是AB垂直平分线，OA垂直AB， ∴G点为OB的中点， ∵OB= 8 3 3 ， ∴G（ 4 3 3 ，0）． （2）过点C作CH⊥x轴于点H， 在Rt△ABO中，∠ABO=30°，OB= 8 3 3 ， ∴cos30°= AB 8 3 3 = 3 2 ， 即AB= 8 3 3 × 3 2 =4， 又∵CD垂直平分AB， ∴BC=2，在Rt△CBH中，CH= 1 2 BC=1，BH= 3 ， ∴OH= 8 3 3 - 3 = 5 3 3 ， ∴C（ 5 3 3 ，-1）， ∵∠DGO=60°， ∴OG= 1 2 OB= 4 3 3 ， ∴OD= 4 3 3 tan60°=4， ∴D（0，4）， 设直线CD的解析式为：y=kx+b，则 -1= 5 3 3 k+b 4=b ，解得： k=- 3 b=4 ∴y=- 3 x+4； （3）存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形． ①如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形， 设QP交x轴于点E，在Rt△OEP中，OP=4，∠OPE=30°， ∴OE=2，PE=2 3 ， ∴Q（2，4-2 3 ）． ②如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形， 延长QP交x轴于点F，在Rt△POF中，OP=4，∠FPO=30°， ∴OF=2，PF=2 3 ， ∴QF=4+2 3 ∴Q（-2，4+2 3 ）． ③如图，当PD=DQ=QO=OP= 4 3 3 时，四边形DOPQ为菱形，在Rt△DQM中，∠MDQ=30°， ∴MQ= 1 2 DQ= 2 3 3 ∴Q（ 2 3 3 ，2）． ④如图，当OD=OQ=QP=DP=4时，四边形DOQP为菱形， 设PQ交x轴于点N，此时∠NOQ=∠ODQ=30°， 在Rt△ONQ中，NQ= 1 2 OQ=2， ∴ON=2 3 ， ∴Q（2 3 ，-2）； 综上所述，满足条件的点Q共有四点：（2，4-2 3 ），（-2，4+2 3 ），（ 2 3 3 ，2），（2 3 ，-2）；

据专家权威分析，试题“如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=833，边AB的垂直平分线..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)