如图1,在平面直角坐标系中,等边三角形ABC的两顶点坐标分别为A(1,0),B(2,3),CD为△ABC的中线,⊙M与△ACD的外接圆,BC交⊙M于点N.(1)将直线AB绕点D顺时针旋转使得到的直线l-数学

题文

如图1,在平面直角坐标系中,等边三角形ABC的两顶点坐标分别为A(1,0),B(2,

3
),CD为△ABC的中线,⊙M与△ACD的外接圆,BC交⊙M于点N.
(1)将直线AB绕点D顺时针旋转使得到的直线l与⊙M相切,求此时的旋转角及直线l的解析式;
(2)连接MN,试判断MN与CD是否互相垂直平分,并说明理由;
(3)在(1)中的直线l上是否存在点P,使△PAN为直角三角形?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.(图2为备用图)
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)连接MD,则∠MDA=60度,当AB绕点D,顺时针旋转使得到的直线l与圆M相切时,DM⊥AB,∠MDA=90度,所以,此时的旋转角是顺时针30度.未旋转时,点D坐标(1.5,

3
2
),可设直线与x的交点为P,那么PA=AD=1,则P(0,0),设出正比例函数解析式为y=kx,过点D,所以l的解析式为:y=

3
3
x;

(2)MN⊥CD,且与CD互相垂直平分,因为点N是BC的中点,MN是中位线,有CD⊥AB,MN∥AB,所以MN⊥CD,同时MN平分CD,同时利用MN连线与CD的交点及点C组成的两个三角形全等,得出CD也平分了MN;

(3)第1种情况:PA⊥AN,P(
3
4

3
4
);
第2种情况:PN⊥AN,P(
9
4
3

3
4
);
第3种情况:PA⊥PN,以AN为直径的圆与直线l的交点有2个,
AN=

3

设直线l上的点P坐标为(x,

3
3
x),则PA2+PN2=AN2=3,
N点坐标为(
5
2

3
2
),
(x-1)2+(

3
3
x)2+(x-
5
2
2+(

3
3
x-

3
2
2=3,
解得x=

6
4
,这是P点的横坐标,
∴P点纵坐标是

3
3
x.

据专家权威分析,试题“如图1,在平面直角坐标系中,等边三角形ABC的两顶点坐标分别为A(..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称:求一次函数的解析式及一次函数的应用

  • 待定系数法求一次函数的解析式:
    先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中的未知系数,从而得到函数的解析式的方法。

    一次函数的应用:
    应用一次函数解应用题,一般是先写出函数解析式,在依照题意,设法求解。
    (1)有图像的,注意坐标轴表示的实际意义及单位;
    (2)注意自变量的取值范围。

  • 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤:
    第一步(设):设出函数的一般形式。(称一次函数通式)
    第二步(代):代入解析式得出方程或方程组。
    第三步(求):通过列方程或方程组求出待定系数k,b的值。
    第四步(写):写出该函数的解析式。

    一次函数的应用涉及问题:
    一、分段函数问题
    分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符
    合实际。

    二、函数的多变量问题
    解决含有多变量问题时,可以分析这些变量的关系,选取其中一个变量作为自变量,然后根据问题的条件寻
    求可以反映实际问题的函数

    三、概括整合
    (1)简单的一次函数问题:①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用。
    (2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

    生活中的应用:

    1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
    2.如果水池抽水速度f一定,水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
    3.当弹簧原长度b(未挂重物时的长度)一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+b(k为任意正数)

  • 一次函数应用常用公式:
    1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
    2.求与x轴平行线段的中点:(x1+x2)/2
    3.求与y轴平行线段的中点:(y1+y2)/2
    4.求任意线段的长:√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]
    5.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式
    两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
    6.求任意2点所连线段的中点坐标:[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
    7.求任意2点的连线的一次函数解析式:(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0,则分子为0)
    (x,y)为 + ,+(正,正)时该点在第一象限
    (x,y)为 - ,+(负,正)时该点在第二象限
    (x,y)为 - ,-(负,负)时该点在第三象限
    (x,y)为 + ,-(正,负)时该点在第四象限
    8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2,则k1=k2,b1≠b2
    9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,则k1×k2=-1
    10.
    y=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
    y=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
    y=kx+b+n就是向上平移n个单位
    y=kx+b-n就是向下平移n个单位
    口决:左加右减相对于x,上加下减相对于b。
    11.直线y=kx+b与x轴的交点:(-b/k,0) 与y轴的交点:(0,b)

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