题文

如图，已知A（-1，0），E（0，- 2 2 ），以点A为圆心，以AO长为半径的圆交x轴于另一点B，过点B作BF∥AE交⊙A于点F，直线FE交x轴于点C． （1）求证：直线FC是⊙A的切线； （2）求点C的坐标及直线FC的解析式； （3）有一个半径与⊙A的半径相等，且圆心在x轴上运动的⊙P．若⊙P与直线FC相交于M，N两点，是否存在这样的点P，使△PMN是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：连接AF， ∵AE∥BF， ∴∠1=∠3，∠4=∠2， 又∵AB=AF， ∴∠3=∠4， ∴∠1=∠2， 又∵AO=AF，AE=AE， ∴△AOE≌△AFE， ∴∠AFE=∠AOE=90°， ∴FC是⊙O的切线． （2）方法①由（1）知EF=OE= 2 2 ， ∵AE∥BF， ∴ AC AB = CE EF ， ∴ OC+1 1 = CE 2 2 ， ∴CE= 2 2 CO+ 2 2 ①； 又∵OE2+OC2=CE2， ∴CE2=（ 2 2 ）2+CO2②； 由①②解得OC=0（舍去）或OC=2， ∴C（2，0）， ∵直线FC经过E（0，- 2 2 ），C（2，0）两点， 设FC的解析式：y=kx+b， ∴ 2k+b=0 b=- 2 2 ， 解得 k= 2 4 b=- 2 2 ， ∴直线FC的解析式为y= 2 4 x- 2 2 ． 方法②： ∵CF切⊙A于点F， ∴∠AFC=∠EOC=90°， 又∠ACF=∠OCE， ∴△COE∽△CFA， ∴ OE AF = CO CF ， ∴ 2 2 1 = CO CE+ 2 2 ， 即CE= 2 CO- 2 2 ①； 又OE2+OC2=CE2， ∴CE2=（ 2 2 ）2+CO2②； 由①②解得CO=0（舍去）或CO=2； ∴C（2，0） （求FC的解析式同上）． 方法③∵AE∥BF， ∴ AC AB = CE EF ， ∴ OC+1 1 = CE 2 2 ， ∴CE= 2 2 CO+ 2 2 ①， ∵FC切⊙A于点F， ∴∠AFC=∠COE=90°， ∴∠ACE=∠OCE， ∴△COE∽△CFA， ∴ OE AF = CO CF ， ∴ 2 2 1 = CO CE+ 2 2 ， ∴CE= 2 CO- 2 2 ②． 由①②解得：CO=2， ∴C（2，0）， （求FC的解析式同上）． （3）存在： 当点P在点C左侧时，若∠MPN=90°，过点P作PE⊥MN于点E， ∵∠MPN=90°，PM=PN， ∴PE=PM×cos45°= 2 2 ， ∵AF⊥FC， ∴PE∥AF， ∴△CPE∽△CAF， ∴ PE AF = CP CA ， ∴ 2 2 1 = CP 3 ， ∴CP= 3 2 2 ， ∴PO= 3 2 2 -2， ∴P（2- 3 2 2 ，0）． 当点P在点C右侧P′时，设∠M′P′N′=90°，过点P′作P′Q⊥M′N′于点Q，则P′Q= 2 2 ． ∴P′Q=PE，可知P′与P关于点C中心对称，根据对称性得： ∴OP′=OC+CP′=2+ 3 2 2 ， ∴P′（2+ 3 2 2 ，0）， ∴存在这样的点P，使得△PMN为直角三角形，P点坐标（2- 3 2 2 ，0）或（2+ 3 2 2 ，0）．

据专家权威分析，试题“如图，已知A（-1，0），E（0，-22），以点A为圆心，以AO长为半径的圆..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)