题文

如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，上底AD平行于x轴，下底BC交y轴于点E，点C（4，-2），点D（1，2），BC=9，sin∠ABC= 4 5 ． （1）求直线AB的解析式； （2）若点H的坐标为（-1，-1），动点G从B出发，以1个单位/秒的速度沿着BC边向C点运动（点G可以与点B或点C重合），求△HGE的面积S（S≠0）随动点G的运动时间t′秒变化的函数关系式（写出自变量t′的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t′= 7 2 秒时，点G停止运动，此时直线GH与y轴交于点N．另一动点P开始从B出发，以1个单位/秒的速度沿着梯形的各边运动一周，即由B到A，然后由A到D，再由D到C，最后由C回到B（点P可以与梯形的各顶点重合）．设动点P的运动时间为t秒，点M为直线HE上任意一点（点M不与点H重合），在点P的整个运动过程中，求出所有能使∠PHM与∠HNE相等的t的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）如图1，过A作AF⊥BC． ∵C（4，-2），∴CE=4． 而BC=9，∴BE=5． ∴B（-5，-2）． ∵D（1，2），∴AF=4． ∵sin∠ABC= 4 5 ，∴BF=3． ∴A（-2，2）． 设直线AB的解析式为y=kx+b， ∵ -5k+b=-2 -2k+b=2 ，∴ k= 4 3 b= 14 3 ， ∴直线AB的解析式为y= 4 3 x+ 14 3 ． （2）如图1，由题意： 情况一：G在线段BE上且不与点E重合． ∴GE=5-t′， S=（5-t′）×1× 1 2 = 5 2 - 1 2 t′； 情况二：G在线段CE上且不与点E重合． ∴GE=t′-5 S=（t′-5）×1× 1 2 = 1 2 t′- 5 2 ； 情况一中的自变量的取值范围：0≤t′＜5， 情况二中的自变量的取值范围：5＜t′≤9． （3）如图2， 当t′= 7 2 秒时，GE=5- 7 2 = 3 2 ∴G（- 3 2 ，-2），直线GH解析式为y=2x+1． ∴N（0，1）． 当点M在射线HE上时，有两种情况： 情况一：当点P运动至P1时，∠P1HM=∠HNE． 过点P1作平行于y轴的直线，交直线HE于点Q1，交BC于点R． 由BP1=t，sin∠ABC= 4 5 ，可得BR= 3 5 t1，P1R= 4 5 t1， ∴RE=Q1R=5- 3 5 t1， ∴P1Q1=5- 7 5 t1． ∴Q1H= 2 (4- 3 5 t1)． 由△P1Q1H∽△HEN得 P1Q1 Q1H = HE EN ， ∴t1= 7 3 ． ∴当t1= 7 3 时，∠P1HM=∠HNE； 情况二：当点P运动至点P2时， 设直线P2H与x轴交于点T，直线HE与x交于点Q2． 此时，△Q2TH∽△EHN ∴ Q2T Q2H = EH EN 解得Q2T= 2 3 ∴T(- 4 3 ，0)． ∴直线HT的解析式为y=-3x-4，此时直线HT恰好经过点A（-2，2）． ∴点P2与点A重合，即BP2=5， ∴t2=5． ∴当t2=5秒时，∠P2HM=∠HNE； 若点M在射线HE上时（点M记为点M1），有两种情况： 情况三：当点P运动至点P3时，∠P3HM1=∠HNE． 过点P3作平行于y轴的直线P3Q3，交直线HE于点Q3，可用求点P1同样的方法． ∴t3=15． ∴当t3=15秒时，∠P3HM1=∠HNE； 情况四：当点P运动至P4时，∠P4HM1=∠HNE． 可得△P4HE≌△THQ2，∴P4E=TQ2= 2 3 ．∴t4=17 2 3 ∴当t4=17 2 3 秒时，∠P4HM2=∠HNE． 综上所述：当t= 7 3 秒或t=5秒或t=15秒或t=17 2 3 秒时，∠PHM=∠HNE．

据专家权威分析，试题“如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，上底AD平行于x轴，下底BC交y..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)