题文

如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y=- 3 4 x+3分别交x轴于点B和点C，点D是直线y=- 3 4 x+3与y轴的交点． （1）求点B、C、D的坐标； （2）设M（x，y）是直线y=x+1上一点，△BCM的面积为S，请写出S与x的函数关系式；来探究当点M运动到什么位置时，△BCM的面积为10，并说明理由． （3）线段CD上是否存在点P，使△CBP为等腰三角形，如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）把y=0代入y=x+1得：0=x+1， ∴x=-1， ∴B（-1，0）， 当x=0时，y=- 3 4 x+3=0， ∴D（0，3）， 把y=0代入y=- 3 4 x+3得：0=- 3 4 x+3， ∴x=4， ∴C（4，0）， 答：B（-1，0），C（4，0），D（0，3）． （2）BC=4-（-1）=5， ∵M（x，y）在y=x+1上， ∴M（x，x+1）， 过M作MN⊥x轴于N， ①当M在x轴的上方时，MN=x+1， ∴S= 1 2 BC×MN= 1 2 ×5×（x+1）= 5 2 x+ 5 2 ； ②当M在x轴的下方时，MN=|x+1|=-x-1， ∴S= 1 2 BC×MN= 1 2 ×5×（-x-1）=- 5 2 x- 5 2 ； 把s=10代入得：10= 5 2 x+ 5 2 得：x=3，x+1=4； 把s=10代入y=- 5 2 x- 5 2 得：x=5=-5，x+1=-4； ∴M（3，4）或（-5，-4）时，s=10； 即S与x的函数关系式是 y= 5 2 x+ 5 2 (x＞-1) y=- 5 2 x- 5 2 (x＜-1) ，点M运动到（3，4）或（-5，-4）时，△BCM的面积为10． （3）由勾股定理得：CD= OC2+OD2 =5， 有三种情况： ①CB=CP=5时，此时P与D重合，P的坐标是（0，3）； ②BP=PC时，此时P在BC的垂直平分线上，P的横坐标是x= 4+(-1) 2 = 3 2 ， 代入y=- 3 4 x+3得：y= 15 8 ，∴P（ 3 2 ， 15 8 ）； ③BC=BP时，设P（x，- 3 4 x+3）， 根据勾股定理得：（x+1）2+(- 3 4 x+3-0)2=52， 解得：x=- 12 5 ，x=4， ∵P在线段CD上，∴x=- 12 5 舍去， 当x=4时，与C重合，舍去， ∴存在点P，使△CBP为等腰三角形，P点的坐标是（0，3）或（ 3 2 ， 15 8 ）．

据专家权威分析，试题“如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y=-34x+3分别交x轴于..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

• 待定系数法求一次函数的解析式：
  先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。
  
  一次函数的应用：
  应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
  （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
  （2）注意自变量的取值范围。

• 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
  第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
  第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
  第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
  第四步（写）：写出该函数的解析式。
  
  一次函数的应用涉及问题：
  一、分段函数问题
  分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
  合实际。

  二、函数的多变量问题
  解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
  求可以反映实际问题的函数

  三、概括整合
  （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
  （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
  
  生活中的应用：
  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

• 一次函数应用常用公式：
  1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
  2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
  3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
  4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
  5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
  两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂ 得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式 得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
  6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
  7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
  （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
  （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
  （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
  （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
  8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
  9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
  10.
  y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
  y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
  y=kx+b+n就是向上平移n个单位
  y=kx+b-n就是向下平移n个单位
  口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
  11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)