有两个多项式M=2x2+3x+1,N=4x2﹣4x﹣3,则下列哪一个为M与N的公因式[]A.x+1B.x﹣1C.2x+1D.2x﹣1-七年级数学

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题文

有两个多项式M=2x2+3x+1,N=4x2﹣4x﹣3,则下列哪一个为M与N的公因式

[     ]

A.x+1
B.x﹣1
C.2x+1
D.2x﹣1
题型:单选题  难度:中档

答案

C

据专家权威分析,试题“有两个多项式M=2x2+3x+1,N=4x2﹣4x﹣3,则下列哪一个为M与N的公因..”主要考查你对  公因式,因式分解  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

公因式因式分解

考点名称:公因式

  • 公因式:
    是只有多项式才有的,是指这个多项式中各项都具有的公共因式。
    它可以是一个单项式,也可以是一个多项式,还可以是一个单项式与一个多项式的积。
    公因式的求法:
    系数:各项系数的最大公约数;
    字母:各项都含有的字母;
    指数:相同字母的最低次幂。

  • 提公因式法:
    一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
    确定公因式的一般步骤:
    (1)如果多项式是第一项系数是负数时,应把公因式的符号“-"提取。
    (2)当各项系数都是整数时,取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数。
    (3)把多项式各项都含有的相同字母(或因式)的最低次幂的积作为公因式的因式。
    上述步骤不是绝对的,当第一项是正数时步骤(1)可省略。
    注意:
    如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。
    例:
    3x+6+x+y+xy+1
    =3(x+2)+(x+xy)+(y+1)
    =3(x+2)+x(1+y)+(y+1)
    =3(x+2)+(x+1)(y+1)
    可见提公因式法也是需要一定的技巧。
    再看一道例题:
    (x-y)2+y-x
    =(y-x)2+(y-x) (技巧就在这一步)
    =(y-x+1)(y-x)
    注意:如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的。如:

    口诀:
    找准公因式,一次要提净;
    全家都搬走,留1把家守;
    提负要变号,变形看奇偶。

  • 提取公因式法的解题步骤:
    提取公因式法是因式分解的一种基本方法。如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来作为多项式的一个因式,提取公因式后的式子放在括号里,作为另一个因式。
    提取公因式是乘法分配律的逆运算,其最简形式为:ma+mb+mc=m(a+b+c)。

    利用提公因式法分解因式时,一般分两步进行:
    (1)提公因式:
    把各项中相同字母或因式的最低次幂的积作为公因式提出来;
    当系数为整数时,还要把它们的最大公约数也提出来,作为公因式的系数;
    当多项式首项符号为负时,还要提出负号。
    (2)用公因式分别去除多项式的每一项,把所得的商的代数和作为另一个因式,与公因式写成积的形式。
    由于题目形式千变万化,解题时也不能生搬硬套。
    例如,有的需要先对题目适当整理变形;
    有的分解因式后多项式因式中有同类项的还要进行合并化简;
    还有的提取公因式后能用其他方法继续分解。
    其中,以(a-b)×(a+b)为例

考点名称:因式分解

  • 定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作把这个多项式分解因式。
    它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。

  • 因式分解没有普遍适用的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法,十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式,轮换对称多项式法,余式定理法,求根公式法,换元法,长除法,短除法,除法等。
    注意四原则:
    1.分解要彻底(是否有公因式,是否可用公式)
    2.最后结果只有小括号
    3.最后结果中多项式首项系数为正(例如:)不一定首项一定为正。

  • 因式分解中的四个注意
    ①首项有负常提负,
    ②各项有“公”先提“公”,
    ③某项提出莫漏1,
    ④括号里面分到“底”。
    现举下例,可供参考。
    例:
    把-a2-b2+2ab+4分解因式。
    解:-a2-b2+2ab+4
    =-(a2-2ab+b2-4)
    =-[(a-b)2-4]
    =-(a-b+2)(a-b-2)
    这里的“负”,指“负号”。
    如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的;

    这里的“公”指“公因式”。
    如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式;

    这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1。

    分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底,不能半途而废的意思。
    其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
    在没有说明化到实数时,一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到实数!
    由此看来,因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话:“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”等是一脉相承的。

  • 分解步骤:
    ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
    ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;
    ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
    ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
    也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要相对合适。”

    分解因式技巧掌握:
    ①分解因式是多项式的恒等变形,要求等式左边必须是多项式
    ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示
    ③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数
    ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
    注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。

    主要方法:
    1.提取公因式法:
    如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
    提公因式法基本步骤:
    (1)找出公因式
    (2)提公因式并确定另一个因式:
    ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母
    ②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式
    ③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。

    2.公式法:
    把乘法公式的平方差公式和完全平方公式反过来,得到因式分解的公式:
    平方差公式:a2-b2=(a+b)·(a-b);
    完全平方式:a2±2ab+b2=(a±b)2
    立方差公式:

    3.分组分解法:
    利用分组分解因式的方法叫做分组分解法,ac+ad+bc+bd=a·(c+d)+b·(c+d)=(a+b)·(c+d)
    其原则:
    ①连续提取公因式法:分组后每组能够分解因式,每组分解因式后,组与组之间又有公因式可提。
    ②分组后直接运用公式法:分组后各组内可以直接应用公式,各组分解因式后,使组与组之间构成公式的形式,然后用公式法分解因式。

    4.十字相乘法:a2+(p+q)·a+p·q=(a+p)·(a+q)。

    5.解方程法:
    通过解方程来进行因式分解,如
    x2+2x+1=0 ,解,得x1=-1,x2=-1,就得到原式=(x+1)×(x+1)

    6.待定系数法:
    首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
    例:
    分解因式x -x -5x -6x-4
    分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
    解:
    设x -x -5x -6x-4
    =(x +ax+b)(x +cx+d)
    = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
    所以 解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4
    则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)