题文

有两个多项式M=2x2+3x+1，N=4x2﹣4x﹣3，则下列哪一个为M与N的公因式

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A．x+1 B．x﹣1 C．2x+1 D．2x﹣1

题型：单选题  难度：中档

答案

C

据专家权威分析，试题“有两个多项式M=2x2+3x+1，N=4x2﹣4x﹣3，则下列哪一个为M与N的公因..”主要考查你对  公因式，因式分解  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

公因式因式分解

考点名称：公因式

• 公因式：
  是只有多项式才有的，是指这个多项式中各项都具有的公共因式。
  它可以是一个单项式，也可以是一个多项式，还可以是一个单项式与一个多项式的积。
  公因式的求法：
  系数：各项系数的最大公约数；
  字母：各项都含有的字母；
  指数：相同字母的最低次幂。

• 提公因式法：
  一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
  确定公因式的一般步骤：
  （1）如果多项式是第一项系数是负数时，应把公因式的符号“-"提取。
  （2）当各项系数都是整数时，取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数。
  （3）把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式。
  上述步骤不是绝对的，当第一项是正数时步骤（1）可省略。
  注意：
  如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
  例：
  3x+6+x+y+xy+1
  =3（x+2）+（x+xy）+（y+1）
  =3(x+2)+x（1+y）+（y+1）
  =3(x+2)+（x+1）（y+1）
  可见提公因式法也是需要一定的技巧。
  再看一道例题：
  （x-y）²+y-x
  =(y-x)²+(y-x) (技巧就在这一步)
  =(y-x+1)(y-x)
  注意：如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。如：
  
  口诀：
  找准公因式，一次要提净；
  全家都搬走，留1把家守；
  提负要变号，变形看奇偶。

• 提取公因式法的解题步骤：
  提取公因式法是因式分解的一种基本方法。如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来作为多项式的一个因式，提取公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式。
  提取公因式是乘法分配律的逆运算，其最简形式为：ma+mb+mc=m(a+b+c)。

  利用提公因式法分解因式时，一般分两步进行：
  （1）提公因式：
  把各项中相同字母或因式的最低次幂的积作为公因式提出来；
  当系数为整数时，还要把它们的最大公约数也提出来，作为公因式的系数；
  当多项式首项符号为负时，还要提出负号。
  （2）用公因式分别去除多项式的每一项，把所得的商的代数和作为另一个因式，与公因式写成积的形式。
  由于题目形式千变万化，解题时也不能生搬硬套。
  例如，有的需要先对题目适当整理变形；
  有的分解因式后多项式因式中有同类项的还要进行合并化简；
  还有的提取公因式后能用其他方法继续分解。
  其中，以(a-b)×(a+b)为例

考点名称：因式分解

• 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
  它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。

• 因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。
  注意四原则：
  1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）
  2．最后结果只有小括号
  3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：）不一定首项一定为正。
  
  

• 因式分解中的四个注意：
  ①首项有负常提负，
  ②各项有“公”先提“公”，
  ③某项提出莫漏1，
  ④括号里面分到“底”。
  现举下例，可供参考。
  例：
  把-a²-b²+2ab+4分解因式。
  解：-a²-b²+2ab+4
  =-(a²-2ab+b²-4）
  =-[(a-b)²-4]
  =-(a-b+2)(a-b-2)
  这里的“负”，指“负号”。
  如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的;

  这里的“公”指“公因式”。
  如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；

  这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。

  分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。
  其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
  在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！
  由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。

• 分解步骤：
  ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
  ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
  ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
  ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
  也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”

  分解因式技巧掌握：
  ①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式
  ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示
  ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数
  ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
  注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

  主要方法：
  1.提取公因式法：
  如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
  提公因式法基本步骤：
  （1）找出公因式
  （2）提公因式并确定另一个因式：
  ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母
  ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式
  ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
  
  2.公式法：
  把乘法公式的平方差公式和完全平方公式反过来，得到因式分解的公式：
  平方差公式：a²-b²=（a+b）·（a-b）；
  完全平方式：a²±2ab+b²=（a±b）²；
  立方差公式：。
  
  3.分组分解法：
  利用分组分解因式的方法叫做分组分解法，ac+ad+bc+bd=a·（c+d）+b·（c+d）=（a+b）·（c+d）
  其原则：
  ①连续提取公因式法：分组后每组能够分解因式，每组分解因式后，组与组之间又有公因式可提。
  ②分组后直接运用公式法：分组后各组内可以直接应用公式，各组分解因式后，使组与组之间构成公式的形式，然后用公式法分解因式。
  
  4.十字相乘法：a²+（p+q）·a+p·q=（a+p）·（a+q）。
  
  5.解方程法:
  通过解方程来进行因式分解，如
  x²+2x+1=0 ,解，得x₁=-1，x₂=-1，就得到原式=（x+1）×（x+1）
  
  6.待定系数法:
  首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
  例:
  分解因式x -x -5x -6x-4
  分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
  解：
  设x -x -5x -6x-4
  =(x +ax+b)(x +cx+d)
  = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
  所以 解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4
  则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)