题文

一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16=52-32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”是______．

题型：填空题  难度：偏易

答案

设这两个数分别m、n， 设m＞n， 即智慧数=m2-n2=（m+n）（m-n）， 又∵mn是非0的自然数， ∴m+n和m-n就是两个自然数， 要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个非0自然数的和与差． （k+1）2-k2=2k+1，（k+1）2-（k-1）2=4k，每个大于1的奇数与每个大于4且是4的倍数的数都是智慧数，而被4除余数为2的偶数都不是智慧数，最小智慧数为3，从5开始，智慧数是5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20…即2个奇数，1个4的倍数，3个一组依次排列下去． 显然1不是“智慧数”，而大于1的奇数2k+1=（k+1）2-k2，都是“智慧数”． 因为：4k=（k+1）2-（k-1）2，所以大于4且能被4整除的数都是“智慧数”而4不是“智慧数”，由于x2-y2=（x+y）×（x-y）（其中x、y∈N），当x，y奇偶性相同时，（x+y）×（x-y）被4整除．当x，y奇偶性相异时，（x+y）*（x-y）为奇数，所以形如4k+2的数不是“智慧数”在自然数列中前四个自然数中只有3是“智慧数”．此后每连续四个数中有三个“智慧数”． 由于1989=3×663， 所以4×664=2656是第1990个“智慧数”． 故答案为：2656．

据专家权威分析，试题“一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然..”主要考查你对  平方差公式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平方差公式

考点名称：平方差公式

• 表达式：
  (a+b)(a-b)=a2-b2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式。

• 特点：
  （1）左边是两项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数；
  （2）右边是乘方中两项的平方差。
  注：
  （1）公式中的a和b可以是具体的数也可以是单项式或多项式；
  （2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。

• 常见错误:
  平方差公式中常见错误有：
  ①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）
  ②混淆公式；
  ③运算结果中符号错误；
  ④变式应用难以掌握。

  注意事项:
  1、公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
  2、右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
  3、公式中的a.b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。