题文

分式方程 ax x-2 + 1 x + x+a x(x-2) =0有且仅有一个实根，求a的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

方程两边同乘以x（x-2）， 得ax2+x-2+x+a=0， 整理得ax2+2x+（a-2）=0． 分如下两种情况： （1）当a≠0时，原方程为一元二次方程． ①如果△＞0，当有一根是0或2，另外一根使x（x-2）≠0时，原分式方程有且仅有一个实根． 当x=0时，原方程为a×02+2×0+a-2=0，解得a=2， 解方程2x2+2x=0，得x1=0，x2=-1； 当x=2时，原方程为a×22+2×2+a-2=0，解得a=- 2 5 ， 解方程- 2 5 x2+2x- 2 5 -2=0，得x1=2，x2=3． ∴a=2或- 2 5 ． ②如果△=0，此时一元二次方程有两相等的实数根，当此二等根使x（x-2）≠0时，原分式方程有且仅有一个实根． 由4-4a（a-2）=0，解得a=1± 2 ． 当a=1± 2 时，原方程的根为x=1- 2 或1+ 2 ． ∴a=1± 2 ． （2）当a=0时，原方程为一元一次方程． 解方程2x-2=0，得x=1． 当x=1时，x（x-2）≠0时，原分式方程有且仅有一个实根． 综上所述，a=2或- 2 5 或1± 2 或0．

据专家权威分析，试题“分式方程axx-2+1x+x+ax(x-2)=0有且仅有一个实根，求a的值．-数学-..”主要考查你对  解分式方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

解分式方程

考点名称：解分式方程

• 解法：
  解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其一般步骤是：
  （1）去分母：分式方程两边同乘以方程中各分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程。
  (最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂）
  （2）解方程：解整式方程，得到方程的根；
  （3）验根：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；
  否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根。
  如果分式本身约分了，也要带进去检验。
  在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。
  一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
  注意：
  （1）注意去分母时，不要漏乘整式项。
  （2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。
  （3）増根使最简公分母等于0。
  
  分式方程的特殊解法：
  换元法：
  换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

• 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。
  解分式方程注意：
  ①解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程进一步求得分式方程的解；
  ②用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边，从而约去分母，但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项；
  ③解分式方程可能产生使分式方程无意义的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤。