题文

如图，已知反比例函数y= k1 x 的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于A、B两点，A（2，n），B（-1，-2）． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）在直线AB上是否存在一点P，使△APO∽△AOB？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵双曲线y= k1 x 过点（-1，-2） ∴k1=-1×（-2）=2 ∵双曲线y= 2 x 过点（2，n） ∴n=1 由直线y=k2x+b过点A，B得 2k2+b=1 -k2+b=-2 ， 解得 k2=1 b=-1 ∴反比例函数关系式为y= 2 x ，一次函数关系式为y=x-1． （2）存在符合条件的点P，P( 7 6 ， 1 6 )． 理由如下：∵A（2，1），B（-1，-2）， ∴OA= 22+12 = 5 ，AB= (-1-2)2+(-2-1)2 =3 2 ， ∵△APO∽△AOB ∴ AP AO = AO AB ， ∴AP= AO2 AB = 5 3 2 = 5 2 6 ， 如图，设直线AB与x轴、y轴分别相交于点C、D，过P点作PE⊥x轴于点E，连接OP，作AF⊥x轴，BG⊥x轴，DH⊥BG． 在直线y=x-1中，令x=0，解得：y=-1，则D的坐标是：（0，-1）； 在直线y=x-1中，令y=0，解得：x=1，则C的坐标是（1，0）； 则CF=OF-OC=2-1=1，AF=1，在直角△ACF中，AC= AF2+CF2 = 2 ， OC=OD=1，则CD= OC2+OD2 = 2 ， BH=BG-GH=2-1=1，DH=1，在直角△BDH中，BD= BH2+DH2 = 2 ， 则AC=CD=DB= 2 ， 故PC=AC-AP= 2 - 5 2 6 = 2 6 ， 在直线y=x-1中，令x=0，则y=-1，则D的坐标是（0，-1），OD=1， 令y=0，则x=1，则C的坐标是：（1，0），则OC=1， 则△OCD是等腰直角三角形． ∴∠OCD=45°， ∴∠ACE=∠OCD=45°． 再由∠ACE=45°得CE=PE= 2 6 × 2 2 = 1 6 ， 从而OE=OC+CE= 7 6 ， 点P的坐标为P（ 7 6 ， 1 6 )．

据专家权威分析，试题“如图，已知反比例函数y=k1x的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于A、..”主要考查你对  反比例函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

反比例函数的图像

考点名称：反比例函数的图像

• 反比例函数的图象：
  反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
  反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。

• 反比例函数图象的画法：
  （1）列表：
  
  （2）描点：在平面直角坐标系中标出点。
  （3）连线：用平滑的曲线连接点。
  当双曲线在一三象限，K>0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。
  当双曲线在二四象限，K<0，在每个象限内，Y随X的增大而增大。
  常见画法当两个数相等时那么曲线呈弯月型。

• k的意义及应用：
  过反比例函数（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积。过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为。
  研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积
  所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
  
  推论内容：一次函数y=x+b或y=-x+b若与反比例函数存在两个交点，若设2点的横坐标分别为x₁,x₂，那么这两个交点与原点连线和两点之间的连线所构成的三角形面积为

• 不同象限分比例函数图像：
  
  
  常见画法：