题文

在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x-1）的图象交于点A（1，k）和点B（-1，-k）． （1）当k=-2时，求反比例函数的解析式和二次函数的图象的顶点； （2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）当k=-2时，A（1，-2）， ∵A在反比例函数图象上， ∴设反比例函数的解析式为：y= m x ． 将A（1，-2）代入得：-2= m 1 ， 解得：m=-2． ∴反比例函数的解析式为：y=- 2 x ； 当k=-2时，y=k（x2+x-1）=-2（x2+x-1）=-2（x2+x-1）=-2（x+0.5）2+2.5， ∴二次函数的图象的顶点坐标为（-0.5，2.5）； （2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大， ∴k＜0． ∵二次函数y=k（x2+x-1）=k(x+ 1 2 )2- 5 4 k， ∴对称轴为：直线x=- 1 2 ． 要使二次函数y=k（x2+x-1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x＜- 1 2 时，才能使得y随着x的增大而增大． 综上所述，k＜0且x＜- 1 2 ．

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x-1）的图象交于..”主要考查你对  反比例函数的性质，二次函数的定义  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

反比例函数的性质二次函数的定义

考点名称：反比例函数的性质

• 反比例函数性质：
  1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；
  当k<0时，图象分别位于第二、四象限。
  2.当k>0,在同一个象限内，y随x的增大而减小；
  当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大。
  3.当k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；
  当k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
  定义域为x≠0；值域为y≠0。
  4.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.
  5. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2 ,且等于|k|.
  6. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x ，y=-x，对称中心是坐标原点.

• 函数图象位置和函数值的增减：
  反比例函数:，反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，列表归纳如下：
  

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
  
  二次函数的一般形式的结构特征：
  ①函数的关系式是整式；
  ②自变量的最高次数是2；
  ③二次项系数不等于零。

• 二次函数的判定：
  二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
  当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
  判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。