题文

已知关于x的方程x2+4x+3k-1=0的两实根的平方和不小于这两个根的积；反比例函数y= 1+5k x 的图象的两个分支在各自的象限内，点的纵坐标y随点的横坐标x的增大而减小．求满足上述条件的k的整数值．

题型：解答题  难度：中档

答案

由题意，方程x2+4x+3k-1=0有实根，故△=16-4（3k-1）≥0， 解得k≤ 5 3 ， 设方程两根为x1，x2，则有x1+x2=-4，x1x2=3k-1． ∵x12+x22≥x1x2．即：（x1+x2）2-3x1x2≥0， 即（-4）2-3（3k-1）≥0， 解得k≤ 19 9 ． 又由比例函数y= 1+5k x ，当x＞0或x＜0时，y随x增大而减小，可知：1+5k＞0，即k＞- 1 5 ， 所以k的取值范围为： 5 3 ≥k＞- 1 5 ， 所以满足题中条件的k可取整数0和1．

据专家权威分析，试题“已知关于x的方程x2+4x+3k-1=0的两实根的平方和不小于这两个根的积..”主要考查你对  反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

反比例函数的性质一元二次方程根与系数的关系

考点名称：反比例函数的性质

• 反比例函数性质：
  1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；
  当k<0时，图象分别位于第二、四象限。
  2.当k>0,在同一个象限内，y随x的增大而减小；
  当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大。
  3.当k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；
  当k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
  定义域为x≠0；值域为y≠0。
  4.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.
  5. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2 ,且等于|k|.
  6. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x ，y=-x，对称中心是坐标原点.

• 函数图象位置和函数值的增减：
  反比例函数:，反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，列表归纳如下：
  

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0