题文

一个圆上有1c个点A1，Ac，A3，…，A11，A1c．以它们为顶点连g角形，使每个点恰好是一个g角形的顶点，且各个g角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）如果圆上只有3个点，那么只有一种连法； （2）如果圆上有6个点，除A1所在r角形的r顶点外，剩下的r个点一定只能在A1在r角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法． （3）如果圆上有k个点，考虑A1所在的r角形．此时，其余的6个点可能分布在：①A1所在r角形的一个边所对的弧上；②也可能r个点在一个边所对应的弧上，另r个点在另一边所对的弧上；在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧；如果是情形①，则由（2），这六个点有r种连法；如果是情形②，则由①，每r个点都只能有一种连法；共有12种连法． （7）最后考虑圆周上有12个点．同样考虑A1所在r角形，剩下k个点的分布有r种可能：①k个点都在同一段弧上；②有6个点是在一段弧上，另r点在另一段弧上；③每r个点在A1所在r角形的一条边对应的弧上．得到表3；共有12×3+3×6+1=22种． 所以共有22种不同的连法．

据专家权威分析，试题“一个圆上有1c个点A1，Ac，A3，…，A11，A1c．以它们为顶点连g角形，..”主要考查你对  排列与组合  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

排列与组合

考点名称：排列与组合

• 排列组合：
  所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
  组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
  排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。

• 解决排列、组合问题的基本原理：
  是分类计数原理与分步计数原理。
  分类计数原理（也称加法原理）：
  指完成一件事有很多种方法，各种方法相互独立，但用其中任何一种方法都可以做完这件事。
  那么各种不同的方法数加起来，其和就是完成这件事的方法总数。
  如从甲地到乙地，乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有3+2=5种不同的走法。
  分步计数原理（也称乘法原理）：
  指完成一件事，需要分成多个步骤，每个步骤中又有多种方法，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事。
  那么，每个步骤中的方法数相乘，其积就是完成这件事的方法总数。
  如从甲地经过丙地到乙地，先有3条路可到丙地，再有2路可到乙地，所以共有3×2=6种不同的走法。