题文

3个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的连续3个正整数的乘积称为“美妙数”，问所有的“美妙数”的最大公约数是多少？（第九届华杯赛）

题型：解答题  难度：中档

答案

①任何三个连续正整数，必有一个能为3整除．所以，任何“美妙数”必有因子3． ②若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因子4． ③完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0，若其个位是5和0，则中间的数必能被5整除，若其个位是1和6，则第一个数必能被5整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除．所以，任何“美妙数”必有因子5． ④上述说明“美妙数”都有因子3、4、和5，也就有因子60，即所有的美妙数的最大公约数至少是60． 另一方面，60=3×4×5，3、4、5是一个“美妙数”，美妙数的最大公约至多是60． 答：所有的美妙数的最大公约数只能是60．

据专家权威分析，试题“3个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的连续3个正整数的..”主要考查你对  最大公因数（最大公约数），最小公倍数  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

最大公因数（最大公约数），最小公倍数

考点名称：最大公因数（最大公约数），最小公倍数

• 最大公因数（最大公约数）：
  任何两个自然数都有公因数1，（除零以外）公因数中（几个）最大的称为最大公因数；
  最小公倍数：
  在两个或两个以上的自然数中，如果他们有相同的倍数，这些倍数中，最小的称为这些整数的最大公倍数。

• 最大公约数的求法：
  （1）用分解质因数的方法，把公有的质因数相乘。
  （2）用短除法的形式求两个数的最大公约数。
  （3）特殊情况：如果两个数互质，它们的最大公约数是1。
  如果两个数中较小的数是较大的数的约数，那么较小的数就是这两个数的最大公约数。
  
  最小公倍数的方法：
  （1）用分解质因数的方法，把这两个数公有的质因数和各自独有的质因数相乘。
  （2）用短除法的形式求。
  （3）特殊情况：如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
  如果两个数中较大的数是较小的数的倍数，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。