题文

已知a，b，c是三个两两不同的奇质数，方程(b+c)x2+(a+1) 5 x+225=0有两个相等的实数根． （1）求a的最小值； （2）当a达到最小时，解这个方程．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵方程(b+c)x2+(a+1) 5 x+225=0有两个相等的实数根， ∴△=5（a+1）2-900（b+c）=0， ∴（a+1）2=22×32×5（b+c）， ∴5（b+c）应为完全平方数，最小值为52×22， ∴a+1的最小值为60， ∴a的最小值为59； （2）∵a=59时，b+c=20， 则原方程为：20x2+60 5 x+225=0， 解得：x=- 3 2 5 ．

据专家权威分析，试题“已知a，b，c是三个两两不同的奇质数，方程(b+c)x2+(a+1)5x+225=0..”主要考查你对  有理数定义及分类，一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类一元二次方程根的判别式

考点名称：有理数定义及分类

• 有理数的定义：
  有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

• 有理数的分类：
  （1）按有理数的定义：
                                正整数 
                   整数{     零 
                                负整数
  有理数{     
                              正分数 
                  分数{
                              负分数
   
  
  （2）按有理数的性质分类: 
                             正整数  
                 正数{ 
                             正分数
  有理数{  零
                             负整数 
                 负数{
                             负分数

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。