试证明：在数2-1，22-1，23-1，…，2n-1-1中，至少有一个数能被n整除，这里n是大于1的奇数．-数学-00教育-零零教育信息网

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题文

试证明：在数2-1，2²-1，2³-1，…，2^n-1-1中，至少有一个数能被n整除，这里n是大于1的奇数．

题型：解答题难度：中档

答案

∵n是大于1的奇数，
∴设n=2k+1（k是不等于0的自然数），
∴2^n-1-1=2^2k-1=（2^k-1）（2^k+1），
∴当2^k-1=2k+1或2^k=2k时，2^n-1-1是n的倍数，
当k=3时，2^k-1=7，2k+1=7，故2^n-1-1是n的倍数成立，
当k=2时，2^k+1=5，2k+1=5，故2^n-1-1是n的倍数成立．
综上所述，在数2-1，2²-1，2³-1，…，2^n-1-1中，至少有一个数能被n整除．

据专家权威分析，试题“试证明：在数2-1，22-1，23-1，…，2n-1-1中，至少有一个数能被n整..”主要考查你对有理数定义及分类，有理数除法等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类有理数除法

考点名称：有理数定义及分类

有理数的定义：
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。
有理数的分类：
（1）按有理数的定义：
                              正整数
                 整数{     零
                             负整数
有理数{
                            正分数
                分数{
                            负分数

（2）按有理数的性质分类:
                           正整数
               正数{
                           正分数
有理数{ 零
                           负整数
               负数{
                          负分数

考点名称：有理数除法

有理数除法定义：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。
有理数的除法法则：
（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。
有理数除法注意：
①0不能做除数；
②有理数的除法和乘法是互逆运算；
③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。