题文

1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，101010101，… 请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论．

题型：解答题  难度：中档

答案

显然101是质数，假设有n个1的数为An，首先A1是一个质数， 当n≥2时An均为合数，当n为偶数时，显然An能被101整除， 当n为奇数时，An×11=111…1（共2n个1），再将它乘以9得999…9（共2n个9），即102n-1，即An= 102n-1 99 ， 即An= (10n+1)(10n-1) 99 =[ (10n+1) 11 ]×[ 10n-1 9 ]， 设 (10n+1) 11 =a， 10n-1 9 =b，显然b是整数， 而一个数被11整除的充要条件是奇偶位和的差能被11整除， 而10n+1的奇数位和为1，偶数位和也为1，所以能被11整除， 所以a也是一个不为1的整数，所以An不是质数，所以这串数中有101一个质数． 故答案为：1．

据专家权威分析，试题“1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，10101..”主要考查你对  有理数定义及分类  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类

考点名称：有理数定义及分类

• 有理数的定义：
  有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

• 有理数的分类：
  （1）按有理数的定义：
                                正整数 
                   整数{     零 
                                负整数
  有理数{     
                              正分数 
                  分数{
                              负分数
   
  
  （2）按有理数的性质分类: 
                             正整数  
                 正数{ 
                             正分数
  有理数{  零
                             负整数 
                 负数{
                             负分数