题文

（1）已知 1+ 1 12 + 1 22 = 3 2 ， 1+ 1 22 + 1 32 = 7 6 ， 1+ 1 32 + 1 42 = 13 12 ，…试猜测 1+ 1 n2 + 1 (n+1)2 的结果，并加以证明； 1+ 1 n2 + 1 (n+1)2 = n2+n+1 n(n+1) ， （2）s= 1+ 1 12 + 1 22 + 1+ 1 22 + 1 32 + 1+ 1 32 + 1 42 +…+ 1+ 1 20052 + 1 20062 ， 求不超过S的最大整数[s]．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）猜想： 1+ 1 n2 + 1 (n+1)2 = n2+n+1 n(n+1) ． 证明： 1+ 1 n2 + 1 (n+1)2 = n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n2(n+1)2 = n2(n+1)2+2n(n+1)+1  n(n+1) = n2+n+1 n(n+1) ； （2）∵ n2+n+1 n(n+1) =1+ 1 n - 1 n+1 ， ∴s=1+1- 1 2 +1+ 1 2 - 1 3 +1+ 1 3 - 1 4 +…+1+ 1 2005 - 1 2006 =2005+1- 1 2006 =2005 2005 2006 ， ∴[s]=2005．

据专家权威分析，试题“（1）已知1+112+122=32，1+122+132=76，1+132+142=1312，…试猜测1+..”主要考查你对  最简二次根式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

最简二次根式

考点名称：最简二次根式

• 最简二次根式定义：
  被开方数中不含字母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式。
  有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

• 最简二次根式同时满足下列三个条件：
  （1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
  （2）被开方数中不含有能开的尽的因式；
  （3）被开方数不含分母。

• 最简二次根式判定：
  ①在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数就不是最简二次根式；
  ②在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式。
  
  化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
  ①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
  ②如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。