题文

阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述，其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：(2+ 3 )(2- 3 )=1，2+ 3 与2- 3 的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式 2+ 3 2- 3 可以这样 2+ 3 2- 3 = (2+ 3 )(2+ 3 ) (2- 3 )(2- 3 ) = 7+4 3 1 =7+4 3 ，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题：①4+ 7 的有理化因式是______ ②计算： 1 2+ 3 + 27 -6 1 3 ③计算： 1 1+ 2 + 1 2 + 3 + 1 3 + 4 +… 1 1999 + 2000 ．

题型：解答题  难度：中档

答案

①∵（4- 7 ）（4+ 7 ）=16-7=9， ∴4+ 7 的有理化因式是4- 7 ； 故答案为：4- 7 ； ② 1 2+ 3 + 27 -6 1 3 ， = 2- 3 (2+ 3 )(2- 3 ) +3 3 -6× 3 3 =2- 3 +3 3 -2 3 =2； ③（ 1 1+ 2 + 1 2 + 3 + 1 3 + 4 +…+ 1 1999 + 2000 = 2 -1+ 3 - 2 + 4 - 3 +…+ 2000 - 1999 =-1+ 2000 =-1+20 5 ．

据专家权威分析，试题“阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说..”主要考查你对  最简二次根式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

最简二次根式

考点名称：最简二次根式

• 最简二次根式定义：
  被开方数中不含字母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式。
  有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

• 最简二次根式同时满足下列三个条件：
  （1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
  （2）被开方数中不含有能开的尽的因式；
  （3）被开方数不含分母。

• 最简二次根式判定：
  ①在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数就不是最简二次根式；
  ②在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式。
  
  化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
  ①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
  ②如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。