题文

若 x = a - 1 a ，求 x+2+ 4x+x2 x+2- 4x+x2 的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

∵ x = a - 1 a ， ∴x=a+ 1 a -2， ∵x≥0， ∴ a ≥ 1 a ， ∴a≥1， 1 a ≤1， 原式= (x+2+ 4x+x2 )2 (x+2- 4x+x2 )(x+2- 4x+x2 ) ， = (x+2+ 4x+x2 )2 (x+2)2-(4x+x2) ， = (x+2+ 4x+x2 )2 4 ， = a+ 1 a + (a- 1 a )2 4 ， 当a≥ 1 a 时， 原式= a+ 1 a +a- 1 a 4 = a 2 ； 当a＜ 1 a 时与a≥1， 1 a ≤1相矛盾． 综上所述，原二次根式的值为： a 2 ． 故答案为： a 2 ．

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最简二次根式

考点名称：最简二次根式

• 最简二次根式定义：
  被开方数中不含字母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式。
  有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

• 最简二次根式同时满足下列三个条件：
  （1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
  （2）被开方数中不含有能开的尽的因式；
  （3）被开方数不含分母。

• 最简二次根式判定：
  ①在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数就不是最简二次根式；
  ②在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式。
  
  化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
  ①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
  ②如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。