题文

已知a、b为整数，若一元二次方程x2-axa-b+（2a-b-1）x+a2+a-b-4=0的根都是整数，求a、b的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

根据题目分三种情况讨论： ①当a-b=2即b=a-2时， 原方程可化为：（1-a）x2+（a+1）x+（a-2）=0， 设方程两根为：x1，x2，则：x1+x2= a+1 a-1 ，x1x2= a-2 1-a ， ∵x1，x2为整数，∴x1+x2= a+1 a-1 ，x1x2= a-2 1-a 均为整数， 可得： a=2 b=0 或者 a=0 b=2 ； ②当a-b=1即b=a-1时， 原方程可化为：x2+a2-3=0， 当：x1，x2，a，b为整数时，无解； ③当a-b=0即a=b时， 原方程可化为：x2+（a-1）x+a2-a-4=0， x1+x2=1-a，x1x2=a2-a-4， 可得有无数组a，b，x1，x2满足题意．

据专家权威分析，试题“已知a、b为整数，若一元二次方程x2-axa-b+（2a-b-1）x+a2+a-b-4=0的..”主要考查你对  一元二次方程的定义，一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程的定义一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程的定义

• 定义：
  只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
  
  一元二次方程的一般形式：
  它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中 ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

• 方程特点；
  （1）该方程为整式方程。
  （2）该方程有且只含有一个未知数。
  （3）该方程中未知数的最高次数是2。
  
  判断方法：
  要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
  

• 点拨：
  ①“a≠0”是一元二次方程的一般形式的重要组成部分，当a=0，b≠0时，她就成为一元一次方程了。反之，如果明确了是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件；
  ②任何一个一元二次方程， 经过整理都能化成一般形式，在判断一个方程是不是一元二次方程时，首先化成一般形式，再判断；
  ③二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以咋确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；
  ④项的系数包括它前面的符号。如：x²+5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；3x²+4x-1=0的常数项是-1而不是1；
  ⑤若一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0