题文

是否存在某个实数m，使得方程x2+mx+2=0和x2+2x+m有且只有一个共同根；如果存在，求出这个实数m及两个方程的公共根，如果不存在，说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：假设存在实数m，使这两个方程有且只有一个公共实数根a，由方程根的定义，得 （1）-（2）得：（m-2）a+(2-m)=0， 解得：m=2，或a=1， 当m=2时，两个已知方程为同一方程，且没有实数根， 所以，m=2舍去， 当a=1时，代入（1）得m=-3,当m=-3时，求得第一个方程的根为 第二个方程的根为 所以，存在符合条件的m,当m=-3时，两个方程有且只有一个公共根x=1。

据专家权威分析，试题“是否存在某个实数m，使得方程x2+mx+2=0和x2+2x+m有且只有一个共同..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0