题文

.已知方程（a-x）2-4（b-x）（c-x）=0，试说明： （1）此方程必有实数根； （2）若a、b、c为△ABC的三边长，方程有两个相等的实数根，则△ABC为等边三角形。

题型：解答题  难度：偏难

答案

证明：（1）整理方程（a-x）2-4（b-x）（c-x）=0， 得3x2-（4b+4c-2a）x+4bc-a2=0， Δ=（4b+4c-2a）2-12（4bc-a2）， =16b2+16c2+16a2-16ab-16bc-16ac， =8（a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2）， =8[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]， ∵（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（a-c）2≥0， ∴Δ≥0， ∴方程必有实数根； （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ=8[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]=0， ∴a-b=0，b-c=0，a-c=0， ∵a、b、c为三角形三边长， ∴a=b≠0，b=c≠0，a=c≠0， ∴a=b=c， ∴△ABC为等边三角形。

据专家权威分析，试题“.已知方程（a-x）2-4（b-x）（c-x）=0，试说明：（1）此方程必有实数根；..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系，等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系等边三角形

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。