题文

如图①，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D，E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a ， h，且是关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0的两个实数根，设过D，E，F三点的⊙O的面积为S⊙O，矩形PDEF的面积为S矩形PDEF。 （1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4； （2）求的最小值； （3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m，n ，k的取值是否有关？请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）据题意，∵a+h=， ∴所求正方形与矩形的面积之比：， ∵ ∴ 由知m，k同号， ∴mk>0 ∴ 即正方形与矩形的面积之比不小于4；
（2）∵∠FED=90°， ∴DF为⊙O的直径， ∴⊙O的面积为：， 矩形PDEF的面积：， ∴面积之比：， 设， ， ∵ ∴ ∴ 即时（EF=DE），的最小值为；
（3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形， 过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP=e， ∵BN∥FE，NF∥BE， ∴BN=EF， ∴BN =FP=e， 由BC∥MQ，得：BM=AG=h， ∵AQ∥BC，PF∥BC， ∴AQ∥FP， ∴△FBP∽△ABQ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关。

据专家权威分析，试题“如图①，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D，E在边..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最大值和最小值，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系二次函数的最大值和最小值相似三角形的性质

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0

考点名称：二次函数的最大值和最小值

• 二次函数的最值：
  1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
  当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
  也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
  2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x₁ 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x₁时，，当x=x₂时 。

考点名称：相似三角形的性质

• 相似三角形性质定理：
  (1)相似三角形的对应角相等。
  (2)相似三角形的对应边成比例。
  (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
  (4)相似三角形的周长比等于相似比。
  (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
  (6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
  (7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项
  (8)c/d=a/b 等同于ad=bc.
  (9)不必是在同一平面内的三角形里
  ①相似三角形对应角相等，对应边成比例.
  ②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
  ③相似三角形周长的比等于相似比

  定理推论：
  推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
  推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
  推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
  推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
  推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
  推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。