题文

设x1、x2是关于x的方程x2-4x+k+1=0的两个实数根，试问：是否存在实数k，使得x1·x2 >x1+x2成立，请说明理由。

温馨提示 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，则它的两个实数根是：

题型：解答题  难度：中档

答案

解：不存在， 因为一元二次方程有两个实根，由b2-4ac≥0，得16-4（k+1）≥0， 解得k≤3， x1、x2是一元二次方程的两个实数根， 所以x1+x2=4，x1·x2=k+1， 而x1·x2>x1+x2，即k+1>4， ∴k>3， 所以不存在实数k，使得x1·x2>x1+x2成立。

据专家权威分析，试题“设x1、x2是关于x的方程x2-4x+k+1=0的两个实数根，试问：是否存在实..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0