题文

已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12x22-x1-x2=115。 （1）求k的值； （2）求x12+x22+8的值。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）∵x1，x2是方程x2-6x+k=0的两个根， ∴x1+x2=6，x1x2=k， ∵x12x22-x1-x2=115， ∴k2-6=115， 解得k1=11，k2=-11， 当k1=11时，△=36-4k=36-44＜0， ∴k1=11不合题意， 当k2=-11时，△=36-4k=36+44＞0， ∴k2=-11符合题意， ∴k的值为-11； （2）∵x1+x2=6，x1x2=-11 ∴x12+x22+8=（x1+x2）2-2x1x2+8=36+2×11+8=66。

据专家权威分析，试题“已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12x..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0