题文

已知Rt △ABC 的两个锐角A ，B 的正切值恰好是关于x 的一元二次方程m2+ （2m -9 ）x+(m2-2) =0(m ≠0) 的两个根，你能求出m 的值吗？（一定要用到：A+B=90°，tanA ·tanB=1，还要注意锐角的三角函数值没有负的噢！）

题型：解答题  难度：中档

答案

解：由题意可设一元二次方程为   m(x-tanA)(x-tanB)=0 由对应系数相等可得： ， 又A+B=90°，∴， m1=2，m2=-1， 当m=2时，， 当m= -1时，tanA+tanB= -11   ∵两锐角的正切值的和不可能是负数， ∴m=2。

据专家权威分析，试题“已知Rt△ABC的两个锐角A，B的正切值恰好是关于x的一元二次方程m2+..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系，锐角三角函数的定义，互余两角三角函数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系锐角三角函数的定义互余两角三角函数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0

考点名称：锐角三角函数的定义

• 锐角三角函数：
  锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。
  初中学习的 锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角的三角函数。初中研究的锐角的三角函数为：正弦（sin），余弦（cos），正切（tan）。
  正弦：在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
  余弦：在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；
  正切：在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即，
  锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数。

• 锐角三角函数的增减性：
  1.锐角三角函数值都是正值
  2.当角度在0°～90°间变化时，
  正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ；
  正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ，余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
  正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
  3.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 1≥cosA≥0；当角度在0°<A0, cotA>0。

• 锐角三角函数的关系式：
  同角三角函数基本关系式
  tanα·cotα=1
  sin²α·cos²α=1
  cos²α·sin²α=1
  sinα/cosα=tanα=secα/cscα
  cosα/sinα=cotα=cscα/secα
  (sinα)²+(cosα)²=1
  1+tanα=secα
  1+cotα=cscα
  
  诱导公式
  sin（－α）=－sinα
  cos（－α）=cosα
  tan（－α）=－tanα
  cot（－α）=－cotα
  sin（π/2－α）=cosα
  cos（π/2－α）=sinα
  tan（π/2－α）=cotα
  cot（π/2－α）=tanα
  sin（π/2+α）=cosα
  cos（π/2+α）=－sinα
  tan（π/2+α）=－cotα
  cot（π/2+α）=－tanα
  sin（π－α）=sinα
  cos（π－α）=－cosα
  tan（π－α）=－tanα
  cot（π－α）=－cotα
  sin（π+α）=－sinα
  cos（π+α）=－cosα
  tan（π+α）=tanα
  cot（π+α）=cotα
  sin（3π/2－α）=－cosα
  cos（3π/2－α）=－sinα
  tan（3π/2－α）=cotα
  cot（3π/2－α）=tanα
  sin（3π/2+α）=－cosα
  cos（3π/2+α）=sinα
  tan（3π/2+α）=－cotα
  cot（3π/2+α）=－tanα
  sin（2π－α）=－sinα
  cos（2π－α）=cosα
  tan（2π－α）=－tanα
  cot（2π－α）=－cotα
  sin（2kπ+α）=sinα
  cos（2kπ+α）=cosα
  tan（2kπ+α）=tanα
  cot（2kπ+α）=cotα(其中k∈Z)
  
  二倍角、三倍角的正弦、余弦和正切公式
  Sin(2α)=2sinαcosα
  Cos(2α)=（cosα）²－(sinα)²=2(cosα)²－1=1－2(sinα)²
  Tan(2α)=2tanα/(1-tanα)
  sin(3α)=3sinα-4sin³α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
  cos(3α)=4cos³α-3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
  tan(3α)=(3tanα-tan³α)/(1-3tan²α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
  和差化积、积化和差公式
  sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
  sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
  cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
  cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
  sinαcosβ=-[sin（α+β）+sin（α－β）]
  sinαsinβ=-[1][cos（α+β）-cos（α-β）]/2
  cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2
  sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2
  cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

考点名称：互余两角三角函数的关系

• 互为余角的三角函数之间的关系：
  sinA=cos（90°-A），cosA=sin（90°-A）;
  tan(90°-A)=cotA, cot(90°-A)=tanA。
  倒数关系：tanA·tan（90°-A）=1。