题文

已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0 （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）若一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2．且|x1﹣x2|=2，求m的值．

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵△=b2﹣4ac =[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）， =（3m﹣1）2﹣8m2+8m， =9m2﹣6m+1﹣8m2+8m， =m2+2m+1，=（m+1）2； ∴△=（m+1）2≠0， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）∵一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2． |x1﹣x2|=2， ∴x1+x2=﹣=，x1x2==； ∴（x1﹣x2）2=4， ∴x12+x22﹣2x1x2=4， ∴x12+x22+2x1x2﹣4x1x2=4， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4， ∴（）2﹣4×=4， ∴整理得：﹣3m2+2m﹣1=0， 解得：m1=1，m2=﹣， ∴一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2， 且|x1﹣x2|=，m的值为1或﹣．

据专家权威分析，试题“已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0（1）求证：无论m取任何实数时，..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的最大值和最小值  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根的判别式二次函数的最大值和最小值

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。

考点名称：二次函数的最大值和最小值

• 二次函数的最值：
  1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
  当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
  也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
  2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x₁ 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x₁时，，当x=x₂时 。