题文

已知：α、β是方程2x2+4x+1=0的两根． （1）求：3α2+β2+4β+2的值． （2）求作一个关于y的方程，使它的两根分别是（+）和（α﹣1）（β﹣1）

题型：解答题  难度：中档

答案

解：∵α、β是方程2x2+4x+1=0的两根， ∴2α2+4α+1=0，α+β=﹣2，αβ=． （1）3α2+β2+4β+2 =（2α2+4α+1）+（α2+β2）+1 =0+（α+β）2﹣2αβ+1 =4﹣1+1 =4； （2）∵（+）2=+2+===8； （α﹣1）（β﹣1）=αβ﹣（α+β）=+2=； ∴所求的方程的两个根分别是8和； ∴所求的方程可以是（y﹣8）（y﹣）=0（答案不唯一）．

据专家权威分析，试题“已知：α、β是方程2x2+4x+1=0的两根．（1）求：3α2+β2+4β+2的值．（2）求作..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0