题文

（1）如表：方程1，方程2，方程3，…是按照一定规律排列的一列方程，解方程3，并将它的解填在表中：

（2）x1=﹣10，x2=30是不是（1）中所给的一列方程中的一个方程的两个根？ （3）请写出这列方程中第k个方程．

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）∵x2﹣6x﹣27=0即（x+3）（x﹣9）=0 ∴x+3=0或x﹣9=0 ∴x1=﹣3，x2=9； （2）是，x2﹣20x﹣300=0； 验证：当x=﹣10时，左边=（﹣10）2﹣20×（﹣10）﹣300=0， 右边=0，左边=右边； ∴x=﹣10是原方程的解； 当x=30时，左边=302﹣20?30﹣300=0，右边=0，左边=右边； ∴x=30是原方程的解； （3）根与系数的关系可得：x1=﹣k，x2=3k； ∴方程为x2﹣2kx﹣3k2=0。

据专家权威分析，试题“（1）如表：方程1，方程2，方程3，…是按照一定规律排列的一列方程，..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系，探索规律，一元二次方程的解法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系探索规律一元二次方程的解法

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0

考点名称：探索规律

• 探索规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
  掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键。
  （1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；
  （2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题。

• 探索规律题题型和解题思路:
  1.探索条件型:结论明确,需要探索发现使结论成立的条件的题目;
  探索条件型往往是针对条件不充分、有变化或条件的发散性等情况，解答时要注意全面性，类似于讨论；解题应从结论着手，逆推其条件，或从反面论证，解题过程类似于分析法。
  
  2.探索结论型:给定条件,但无明确的结论或结论不唯一,而要探索发现与之相应的结论的题目;
  探索结论型题的特点是结论有多种可能，即它的结论是发散的、稳定的、隐蔽的和存在的；
  探索结论型题的一般解题思路是：
  （1）从特殊情形入手，发现一般性的结论；
  （2）在一般的情况下，证明猜想的正确性；
  （3）也可以通过图形操作验证结论的正确性或转化为几个熟悉的容易解决的问题逐个解决。
  3.探索规律型:在一定的条件状态下,需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目；
  图形运动题的关键是抓住图形的本质特征，并仿照原题进行证明。在探索递推时，往往从少到多，从简单到复杂，要通过比较和分析，找出每次变化过程中都具有规律性的东西和不易看清的图形变化部分。
  
  4.探索存在型:在一定的条件下,需探索发现某种数学关系是否存在的题目.而且探索题往往也是分类讨论型的习题,无论从解题的思路还是书写的格式都应该让学生明了基本的规范,这也是数学学习能力要求。
  探索存在型题的结论只有两种可能：存在或不存在；
  存在型问题的解题步骤是：
  ①假设存在；
  ②推理得出结论（若得出矛盾，则结论不存在；若不得出矛盾，则结论存在）。
   解答探索题型，必须在缜密审题的基础上，利用学具，按照要求在动态的过程中，通过归纳、想象、猜想，进行规律的探索，提出观点与看法，利用旧知识的迁移类比发现接替方法，或从特殊、简单的情况入手，寻找规律，找到接替方法；解答时要注意方程思想、函数思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想在解题中的应用；因此其成果具有独创性、新颖性，其思维必须严格结合给定条件结论，培养了学生的发散思维，这也是数学综合应用的能力要求。

考点名称：一元二次方程的解法

• 一元二次方程的解：
  能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
  解一元二次方程方程：
  求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。
  

• 韦达定理：
  一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）
  一般式：ax2+bx+c=0的两个根x₁和x₂关系：
  x₁+x₂= -b/a
  x₁·x₂=c/a

• 一元二次方程的解法：
  1、直接开平方法
  利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
  直接开平方法适用于解形如的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当时，；当b<0时，方程没有实数根。
  用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。
  
  2、配方法
  配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
  配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 。
  
  3、公式法
  公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
  一元二次方程 的求根公式：
  求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先要求a≠0；有因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是b²-4ac≥0。即求根公式使用的前提条件是a≠0且b²-4ac≥0。
  
  4、因式分解法
  因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。