题文

已知α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3-α2β-αβ2+β3=0，求证：p=0，q＜0．

题型：填空题  难度：中档

答案

证明：∵α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根， ∴α+β=-p，αβ=q； ∵α3-α2β-αβ2+β3=0， ∴α3-α2β-αβ2+β3=（α-β）2（α+β）=0； ∵α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根， ∴α≠β， ∴α-β≠0， ∴α+β=-p=0，△=p2-4q＞0； ∴p=0，-4q＞0， ∴q＜0．

据专家权威分析，试题“已知α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3-α2β..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0