题文

已知α、β是方程x2-7x+8=0的两个根，且α＞β，不解方程，利用根与系数的关系，求 2 α +3β2的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

由题可得：α+β=7，αβ=8， 则α2+β2=（α+β）2-2αβ=33，（α-β）2=（α+β）2-4αβ=17， 而α＞β，则α-β= 17 ， 设A= 2 α +3β2，B= 2 β +3α2， A+B=2（ 1 α + 1 β ）+3（α2+β2）= 2(α+β) αβ +3（α2+β2）= 2×7 8 +3×33=100 3 4 ， A-B=2（ 1 α - 1 β ）+3（β2-α2）= 2(β-α) αβ +3（β+α）（β-α）= -2 17 8 +3×7×（-2 17 ）=- 85 17 4 ， ∴A= 1 2 （100 3 4 - 85 4 17 ）= 1 8 （403-85 17 ）， 即 2 α +3β2= 1 8 （403-85 17 ）．

据专家权威分析，试题“已知α、β是方程x2-7x+8=0的两个根，且α＞β，不解方程，利用根与系..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0