题文

如果方程x2+px+q=0（p2-4q≥0）的两个根是x1，x2， （1）求证：x1+x2=-p，x1?x2=q； （2）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0）求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数； （3）已知a，b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求 a b + b a 的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证法1：∵x2+px+q=0， ∴x1= p2-4q -p 2 ，x2= - p2-4q -p 2 ． ∴x1+x2= p2-4q -p 2 + - p2-4q -p 2 =-p， ∴x1x2= p2-4q -p 2 × - p2-4q -p 2 =q． 证法2：∵x2+px+q=0的两根为x1，x2． ∴(x-x1)(x-x2)=x2+px+q， 即x2-(x1+x2)x+x1x2=x2+px+q． ∴x1+x2=-p，x1x2=q． （2）设关于x的方程x2+mx+n=0的两根为x1、x2，则有：x1+x2=-m，x1?x2=n，且由已知所求方程的两根为 1 x1 、 1 x2 ． ∴ 1 x1 + 1 x2 = x1+x2 x1?x2 = -m n ． 1 x1 ? 1 x2 = 1 x1?x2 = 1 n ， ∴所求方程为x2- -m n x+ 1 n =0，即nx2+mx+1=0（n≠0）； （3）∵a，b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0， ∴a，b是方程x2-15x-5=0的两根． ∴a+b=15，ab=-5， ∴ a b + b a = (a+b)2-2ab ab = (a+b)2 ab -2= 152 -5 -2=-47．

据专家权威分析，试题“如果方程x2+px+q=0（p2-4q≥0）的两个根是x1，x2，（1）求证：x1+x2=-p..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0