题文

在Rt△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，tanA、tanB是关于x的一元二次方程x2-kx+12k2-37k+26=0的两个实数根． （1）求k的值； （2）若c=10，且a＞b，求a、b．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，∴tanA?tanB=1． ∴tanA?tanB=12k2-37k+26=1， 即12k2-37k+25=0，可得：k1= 25 12 ，k2=1． 又当k=1时，原方程为x2-x+1=0，其判别式△＜0，舍去． ∴k= 25 12 ． （2）当k= 25 12 时，原方程为：x2-  25 12 x+1=0． 又tanA+tanB= 25 12 ，∴ b a + a b = a2+b2 ab = 25 12 ， ∴a2+b2=c2=100．∴ab=48      ① 而a2+b2=（a+b）2-2ab=100，且a+b＞0． ∴a+b=14．② 由①②得： a=8 b=6 或者 a=6 b=8 ， 又a＞b， 则a=8，b=6．

据专家权威分析，试题“在Rt△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，tanA、tanB是关于x..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系，互余两角三角函数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系互余两角三角函数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0

考点名称：互余两角三角函数的关系

• 互为余角的三角函数之间的关系：
  sinA=cos（90°-A），cosA=sin（90°-A）;
  tan(90°-A)=cotA, cot(90°-A)=tanA。
  倒数关系：tanA·tan（90°-A）=1。