题文

已知关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0的两个实数根是α，β，且（α+1）（β+1）=9，求k的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

∵（α+1）（β+1）=9， ∴αβ+（α+β）+1=9③， 又∵在一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0中， △=（2k-1）2-4×1k2≥0， 整理的，4k2+1-4k-4k2≥0， 解得k≤ 1 4 ， 又∵α+β=1-2k①； αβ=k2②； 将①②代入③得，k2+1-2k+1=9， 整理得k2-2k-7=0， 解得k=1±2 2 ． ∵k≤ 1 4 ， ∴k=1-2 2 ．

据专家权威分析，试题“已知关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0的两个实数根是α，β，且..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0