题文

解下列方程，找出规律并加以证明： （1）方程x2+2x+1=0的根为：x1=______，x2=______，x1+x2=______，x1x2=______； （2）方程x2-3x-1=0的根为：x1=______，x2=______，x1+x2=______，x1x2=______； （3）方程3x2+4x-7=0的根为：x1=______，x2=______，x1+x2=______，x1x2=______． 由（1）（2）（3）你能得出什么猜想？你能证明你的猜想吗？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）x2+2x+1=0 即（x+1）2=0 ∴x+1=0 ∴x=-1 ∴x1=-1，x2=-1，x1+x2=-2，x1x2=1； （2）x= 3± 32+4 2 = 3± 13 2 ． ∴x1= 3+ 13 2 ，x2= 3- 13 2 ，x1+x2=3，x1x2=-1； （3）x= -4± 42+4×3×7 6 = -4± 100 6 = -4±10 6 ∴x1=1，x2=- 7 3 ，x1+x2=- 4 3 ，x1x2=- 7 3 ． 结论：若方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c是常数，x是未知数）有两个根x1、x2，则x1+x2=- b a ，x1?x2= c a ．

据专家权威分析，试题“解下列方程，找出规律并加以证明：（1）方程x2+2x+1=0的根为：x1=___..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0