题文

阅读材料：∵ax2+bx+c=0（a≠0）有两根为x1= -b+ b2-4ac 2a ．x2= -b- b2-4ac 2a ．∴x1+x2= -2b 2a =- b a ，x1?x2= b2-(b2-4ac) 4a2 = c a ．综上得，设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则有x1+x2=- b a ，x1x2= c a ．利用此知识解决： （1）已知x1，x2是方程x2-x-1=0的两根，不解方程求下列式子的值：①x12+x22；②（x1+1）（x2+1）； （2）是否存在实数m，使关于x的方程x2+（m+1）x+m+4=0的两根平方和等于2？若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵x1，x2是方程x2-x-1=0的两根， ∴x1+x2=1，x1x2=-1， ∴①x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=1-2×（-1）=3； ②（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=-1+1+1=1． （2）设方程的两根是a、b，则 a+b=-（m+1），ab=m+4， a2+b2=（a+b）2-2ab=（m+1）2-2（m+4）=2， 解得m=±3．

据专家权威分析，试题“阅读材料：∵ax2+bx+c=0（a≠0）有两根为x1=-b+b2-4ac2a．x2=-b-b2-4ac..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0