题文

已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为23，求m的值． 某同学的解答如下： 设x1、x2是方程的两根， 由根与系数的关系，得x1+x2=-m，x1x2=2m-1； 由题意，得x12+x22=23； 又x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2； ∴m2-2（2m-1）=23． 解之，得m1=7，m2=-3， 所以，m的值为7或-3． 上述解答中有错误，请你指出错误之处，并重新给出完整的解答．

题型：解答题  难度：中档

答案

答：错误之处在于方程x2-mx+2m-1=0中，a=1，b=-m，x1+x2=m． 运用两根关系解得答案时，没有代入方程的判别式检验． 由根与系数的关系，得x1+x2=m，x1x2=2m-1． 由题意，得x12+x22=23． 又x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2． ∴m2-2（2m-1）=23． 解之，得m1=7，m2=-3． 所以，m的值为7或-3． 当m=7时，△=（-m）2-4（2m-1） =（-7）2-4（2×7-1） =-1＜0，方程无实根． 当m=-3时，△=（-m）2-4（2m-1） =（3）2-4[2×（-3）-1] =37＞0，方程有两个不相等的实数根实根． ∴m=-3．

据专家权威分析，试题“已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为23，..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。