题文

已知关于x的方程x2-（k-1）x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，实数k的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

∵方程x2-（k-1）x+k+1=0有两个实数根， ∴b2-4ac=（k-1）2-4（k+1）=k2-6k-3≥0， 可设方程的两个根分别为x1，x2， 则有x1+x2=- b a =k-1，x1x2= c a =k+1， 又两个实数根的平方和等于4，即x12+x22=4， ∴（x1+x2）2-2x1x2=x12+x22=4，即（k-1）2-2（k+1）=4， 整理得：k2-4k-5=0，即（k-5）（k+1）=0， 解得：k=5或k=-1， 当k=5时，k2-6k-3=-8＜0，不合题意，舍去， 当k=-1时，k2-6k-3=4＞0，符合题意， 则实数k的值为-1．

据专家权威分析，试题“已知关于x的方程x2-（k-1）x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，实数..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0