题文

已知a为正整数a=b-2005，若关于x的方程x2-ax+b=0有正整数解，则a的最小值是多少？ （温馨提示：先设方程的两根为x1，x2，然后…）

题型：解答题  难度：中档

答案

设方程的两根分别为x1，x2，则 x1+x2=a x1?x2=b ， ∵x1，x2，中有一个为正整数，则另一个也必为正整数，不妨设x1≤x2，则由上式，得 x1?x2-（x1+x2）=b-a=2005， ∴（x1-1）（x2-1）=2006=2×17×59， ∴x1-1=2、x2-1=17×59；x1-1=2×17、x2-1=59；或x1-1=17，x2-1=2×59， ∴x1+x2的最小值是2×17+59+1+1=95，即a的最小值是95．

据专家权威分析，试题“已知a为正整数a=b-2005，若关于x的方程x2-ax+b=0有正整数解，则a..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0