题文

已知方程x2-3x+a+4=0有两个整数根． （1）求证：这两个整数根一个是奇数根，一个是偶数根； （2）求证：a是负数； （3）当方程的两个整数根同号时，求a的值及这两个根．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵方程x2-3x+a+4=0有两个整数根，设这两个整数根为：x1，x2， 根据根与系数的关系：x1+x2=3为奇数， ∵x1，x2都是整数， ∴根据两个整数的和为奇数可知：这两个整数根一个是奇数根，一个是偶数根； （2）△=9-4（a+4）=9-16-4a≥0， 解得：a≤- 7 4 ， 故a是负数即为所证； （3）当方程的两个整数根同号时， ∵x1+x2=3为奇数， ∴x1=1，x2=2， ∴x1x2=a+4=2， 解得：a=-2， ∴方程两个根为：x1=1，x2=2，a的值为-2．

据专家权威分析，试题“已知方程x2-3x+a+4=0有两个整数根．（1）求证：这两个整数根一个是奇..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0