题文

已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m-1=0． （1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？求出此时方程的根．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵a=1，b=m+2，c=2m-1， ∴△=b2-4ac=（m+2）2-4×1×（2m-1）=m2-4m+8=（m-2）2+4． ∵无论m为任何实数，（m-2）2≥0， ∴（m-2）2+4≥4＞0． ∴无论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）∵方程的解为x= -(m+2)± (m-2)2+4 2×1 = -(m+2)± (m-2)2+4 2 ， ∴x1= -(m+2)+ (m-2)2+4 2 ，x2= -(m+2)- (m-2)2+4 2 ∵方程两根互为相反数，即x1+x2=0． ∴ -(m+2)+ (m-2)2+4 2 + -(m+2)- (m-2)2+4 2 =0， ∴ -2(m+2) 2 =0． ∴m=-2．即当m=-2时，方程的两根互为相反数． 把m=-2代入方程x2+（m+2）x+2m-1=0， 解得x=± 5 ， 当方程的两根互为相反数时，此时方程的根为x1= 5 ，x2=- 5 ．

据专家权威分析，试题“已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m-1=0．（1）求证：无论m取任何实数，方程..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。