题文

a、b为实数，关于x的方程|x2+ax+b|=2有三个不等的实数根． （1）求证：a2-4b-8=0； （2）若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证：该三角形必有一个内角60°； （3）若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）由原方程得：x2+ax+b-2=0①，x2+ax+b+2=0②， 两方程的判别式分别为：△1=a2-4b+8，△2=a2-4b-8， ∵原方程有三个根，∴方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根， 即△1，△2中必有一个大于0，一个等于0，比较△1，△2，显然△1＞△2， ∴△1＞0，△2=0， 即a2-4b-8=0； （2）设方程①的两根为x1，x2，方程②的根为x3，则x1+x2+x3=180°， ∵x1+x2=-a，x3=- a 2 ， ∴x1+x2+x3=- 3 2 a=180°， ∴a=-120°， ∴x3=- a 2 =60°． 故该三角形中有一个内角为60°； （3）方程①中的两根x1，x2必有一个大于方程②中的x3，而另一个小于x3， ∴可以设x1＞x3＞x2，则由已知得：x12-x22=x32，即（x1+x2）（x1-x2）=x32． ∴-a? a2-4(b-2) =(- a 2 )2 整理得：a2+4a a2-4b+8 =0 由（1）有：a2-4b=8代入上式得：a2+16a=0， ∴a1=0，a2=-16． 当a=0时，x3=0，这与题目中方程的根是直角三角形的边矛盾， ∴a=-16． 把a=-16代入a2-4b-8=0中，得b=62． 故a=-16，b=62．

据专家权威分析，试题“a、b为实数，关于x的方程|x2+ax+b|=2有三个不等的实数根．（1）求证..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0