题文

已知关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m2+m=0 （1）若有一个根是1，求m； （2）若x1、x2是该一元二次方程的两个根，已知m≤- 1 2 且y=x1+x2- x1-x2+ 1 4 求y的取值范围．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）由一元二次方程x2-（2m+1）x+m2+m=0有一个根是1，把根1代入得： 1-（2m+1）+m2+m=0， 解得：m=0或m=1； （2）∵x1、x2是该一元二次方程的两个根， ∴x1+x2=2m+1，x1x2=m2+m，△=1＞0恒成立， y=x1+x2- x1?x2+ 1 4 =2m+1- (m+ 1 2 )2 ， ∵m≤- 1 2 ， ∴y=2m+1- (m+ 1 2 )2 =2m+1+m+ 1 2 ， =3m+ 3 2 ≤- 3 2 + 3 2 =0． 故y的取值范围为：y≤0．

据专家权威分析，试题“已知关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m2+m=0（1）若有一个根是1，求..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0