题文

已知△ABC的一边为5，另外两边恰是方程x2-6x+m=0的两个根． （1）求实数m的取值范围． （2）当m取最大值时，求△ABC的面积．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设另两边为x1，x2，且x1＞x2． ∴由韦达定理，得 x1+x2=6，x1?x2，=m； 根据三边关系得： x1+x2=6＞5①； ∴x1-x2= (x1+x2)2-4x1x2 = 36-4m ＜5； 解得，m＞ 11 2 ； 又∵△=36-4m≥0， 解得，m≤9， ∴m的取值范围是： 11 2 ＜m≤9； （2）当m取最大值，即m=9时，由原方程得 x2-6x+9=0，即（x-3）2=0， 解得，x1=x2=3， 过点A作AD⊥BC于点D． ∴AD= 11 2 ∴S△ABC= 5 11 4 ．

据专家权威分析，试题“已知△ABC的一边为5，另外两边恰是方程x2-6x+m=0的两个根．（1）求实..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0