题文

附加题 （1）试用一元二次方程的求根公式，探索方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根互为倒数的条件是______； （2）如图．边长为2的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是______； （3）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）． ①当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形； ②当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？ ③是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）若方程两根互为倒数则两根之积为1，故a=c； （2）根据旋转的性质，两个正方形重叠部分的面积为三角形ABE面积的2倍， 由题意可知，BE=2 2 -2，AB=2，根据三角形面积公式可得三角形ABE的面积为2 2 -2， 故两个正方形重叠部分的面积为4 2 -4． （3）①∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ=CP， ∵DQ=AD-AQ=16-t，CP=21-2t， ∴16-t=21-2t， 解得t=5， 当t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形， ②若点P，Q在BC，AD上时， DQ+CP 2 ?AB=60即 16-t+21-2t 2 ×12=60， 解得t=9（秒）， 若点P在BC延长线上时，则CP=2t-21， ∴ 2t-21+16-t 2 ×12=60 解得t=15（秒）， ∴当t=9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2； ③当PQ=PD时， 作PH⊥AD于H，则HQ=HD， ∵QH=HD= 1 2 QD= 1 2 （16-t）， 由AH=BP得2t= 1 2 (16-t)+t， 解得t= 16 3 秒， 当PQ=QD时QH=AH-AQ=BP-AQ=2t-t=t，QD=16-t， ∵QD2=PQ2=122+t2， ∴（16-t）2=122+t2解得t= 7 2 （秒）， 当QD=PD时DH=AD-AH=AD-BP=16-2t， ∵QD2=PD2=PH2+HD2=122+（16-2t）2， ∴（16-t）2=122+（16-2t）2， 即3t2-32t+144=0， ∵△＜0， ∴方程无实根， 综上可知，当t= 16 3 秒或t= 7 2 （秒）时，△PQD是等腰三角形．

据专家权威分析，试题“附加题（1）试用一元二次方程的求根公式，探索方程ax+bx+c=0（a≠0）的..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0