题文

已知a≠0，并且关于x的方程ax2-bx-a+3=0①至多有一个解．试问：关于x的方程（b-3）x2+（a-2b）x+3a+3=0②是否一定有解？并证明你的结论．

题型：解答题  难度：中档

答案

由题意知，方程①的判别式△1=b2+4a（a-3）≤0， ∴b2+（2a-3）2≤9， ∴-3≤b≤3，-3≤2a-3≤3， ∴b-3≤0，0≤a≤3． 当b-3=0时，方程②化为- 9 2 x+ 15 2 =0，有解． 当b-3＜0时，方程②的判别式△2=（a-2b）2-12（a+1）（b-3）＞0， 此时也有解． 综上所述，方程②一定有解．

据专家权威分析，试题“已知a≠0，并且关于x的方程ax2-bx-a+3=0①至多有一个解．试问：关于x..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。