题文

下列命题： ①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0； ②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根； ③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根； ④若a+b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根． 其中正确的命题序号是（　　） A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④

题型：单选题  难度：偏易

答案

①若a+b+c=0，那么b=-a-c， ∴b2-4ac=（-a-c）2-4ac=a2+c2+2ac-4ac=（a-c）2≥0， 故①正确； ②若b＞a+c，a+c若与b符号相同，那么b2-4ac＞（a+c）2-4ac=（a-c）2， ∵（a-c）2≥0， ∴△＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵a+c若与b符号不相同， 则b＞a+c，可能b2＜（a+c）2， 则此时△＜0， 此时方程无实数根， 故此选项错误； ③若b=2a+3c，那么△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=（2a+2c）2+5c2， 当a≠0，c=-a时，△＞0；当a≠0，c=0时，△＞0；当a≠c≠0时，△＞0， ∴△＞0， 故此选项正确； ④若a+b+c=0，则b=-a-c， ∴b2-4ac=（-a-c）2-4ac=a2+c2+2ac-4ac=（a-c）2≥0， 当a=c≠0时，△=0，当a≠c≠0时，△＞0， ∴方程有实数根， 故此选项错误． 故选B．

据专家权威分析，试题“下列命题：①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若b＞a+c，则一元二次方程ax2..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。