题文

学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：“若设一元二次方程的两个根为x1，x2，就能快速求出 1 x1 + 1 x2 ，x12+x22，…的值了．比如设x1，x2是方程x2+2x+3=0的两个根，则x1+x2=-2，x1x2=3，得 1 x1 + 1 x2 = x1+x2 x1x2 =- 2 3 ．” （1）小亮的说法对吗？简要说明理由； （2）写一个你最喜欢的一元二次方程，并求出两根的平方和．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）小亮的说法不对． 若有一根为零时，就无法计算 1 x1 + 1 x2 的值了，因为零作除数无意义． （2）所喜欢的一元二次方程x2-5x-6=0． 设方程的两个根分别为x1，x2， ∴x1+x2=5，x1?x2=-6． 又∵x12+x22=x12+x22+2x1x2-2x1x2=（x1+x2）2-2x1x2 将x1+x2=5，x1?x2=-6代入，得 x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2 =52-2×（-6） =37．

据专家权威分析，试题“学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：“若设一元二..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0