题文

有一个定理：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c 为系数且为常数）的两个根，则x1+x2=- b a 、x1?x2= c a ，这个定理叫做韦达定理．如：x1、x2是方程x2+2x-1=0的两个根，则x1+x2=-2、x1?x2=-1． 若x1、x2是方程2x2+mx-2m+1=0的两个根．试求： （1）x1+x2与x1?x2的值（用含有m的代数式表示）． （2）x12+x22的值（用含有m的代数式表示）． （3）若（x1-x2）2=2，试求m的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵x1、x2是方程2x2+mx-2m+1=0的两个根， ∴x1+x2=- m 2 ，x1?x2= -2m+1 2 ； （2）∵x1、x2是方程2x2+mx-2m+1=0的两个根， ∴x1+x2=- m 2 ，x1?x2= -2m+1 2 ， ∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1?x2 =(- m 2 )2-2× -2m+1 2 = 1 4 m2+2m-1； （3）∵x1、x2是方程2x2+mx-2m+1=0的两个根， ∴x1+x2=- m 2 ，x1?x2= -2m+1 2 ； ∵（x1-x2）2=2， ∴(x1+x2)2-4x1?x2=2， ∴(- m 2 )2-4× -2m+1 2 =2， 解得：m=-8+4 5 ，m=-8-4 5 ， ∵b2-4ac=m2-4×2×（-2m+1）≥0， m2+16m-8≥0， 把m=-8+4 5 ，m=-8-4 5 ，代入上式不等式都成立， 即m的值是-8+4 5 或-8-4 5 ．

据专家权威分析，试题“有一个定理：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为系..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0